Примерно все пререквизиты здесь можно найти в книжке Paolo Aluffi “Algebra: Chapter 0” (скачивается на либгене здесь). Главы I и III должны покрыть все, что нужно (это 35 страниц и 60 соответственно, можете полистать и восполнить пробелы, например, по этой книге).

Теория колец

Особо ничего знать не надо, но полезно было бы знакомство с базовыми понятиями теории колец (кольцо, делимость в кольце, формулировка на языке идеалов).

Реально полезно было бы комфортное ощущения себя с несколькими основными примерами: $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/n$, кольцо многочленов над полем $k[x_1, \ldots, k_n]$, кольцо матриц $M_n(R)$ размера $n \times n$.

В принципе тем из первых шести глав из этих записок должно хватить точно с запасом. Ознакомиться с ними можно либо здесь, либо в любом учебнике алгебры.

Теория модулей

a.k.a. линейная алгебра над произвольными кольцами. Далеко уходить от определения модуля не надо

1. Нужно уметь расшифровывать аккуратно фразу “модуль над кольцом $R$ — это абелева группа $M$ вместе с гомоморфизмом колец $R \to \mathsf{End}(M)$”.
2. Было бы хорошо, если бы вы представляли базовые примеры модулей (модули над полем $k$ суть $k$-векторные пространства, $\mathbb{Z}$-модули суть абелевы группы, подмодули кольца $R$, рассматриваемого как модуль над собой, суть идеалы кольца $R$).
3. Неплохо бы знать тензорное произведение модулей (универсальное свойство, явную конструкцию — по желанию). Ну и какие-нибудь канонические изоморфизмы для него. Мне очень нравится экспозиция этого сюжета в данной брошюре.
4. Еще желательно понимать, что для двух модулей $M$ и $N$ над одним кольцом множество гомоморфизмов $\mathsf{Hom}(M, N)$ образует абелеву группу.
5. Хорошо бы также знать, как можно задавать гомоморфизмы между свободными модулями с помощью матриц.

Я думаю, если вы посетите первые несколько лекций курса по модулям, понимания этой науки будет достаточно.

Теория категорий

Требуется первичное знакомство с теорией категорий.

Подойдет, например, книжка Emily Riehl “Category Theory in Context”, параграфы 1.1-1.5 и 2.1.

Если нужен источник на русском, то можно, пожалуй, посмотреть вот этот учебник, параграфы 1-6, 8-11 и 16.

Еще можно посмотреть вот это видео, например (кстати Яндекс.Браузер умеет в синхронный перевод звукоряда на ютубе).

1. Определение категории, базовые примеры ($\mathsf{Set}$, $\mathsf{Top}$, $\mathsf{Cat}$, $\mathsf{Grp}$, $\mathsf{Ab}$, $R{-}\mathsf{Mod}$, дискретные категории, категории предпорядков).
2. Коммутативные диаграммы.